[2015년 대화고]

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[1학년 1학기 중간]

두 다항식 [eqn: A=3x ^{2`} -xy+y ^{2}], [eqn: B=x ^{2} +3xy-2y ^{2}]에 대하여 [eqn: A-3B]를 간단히 한 것은? [4.3점]

③

① [eqn: -10xy]	② [eqn: -4xy+3y^2]

③ [eqn: -10xy+7y^2]	④ [eqn: 2x^2 -4xy+3y^2]

⑤ [eqn: 6x^2 +8xy-5y^2]

다항식 [eqn: f(x)=-x^3 -ax^2 +5x-6]를 [eqn: x-2]로 나눈 나머지가 [eqn: 0]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [4.3점]

②

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

이차방정식 [eqn: x^2 +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 1+2i]일 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? [4.3점]

④

① [eqn: -7]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7]

[eqn: y=x^2]의 그래프와 직선 [eqn: y=ax+b]가 [eqn: x]좌표가 [eqn: -2], [eqn: 1]인 두 점에서 만날 때, [eqn: ab]의 값은? [4.3점]

①

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: -`1over2]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1]

이차함수 [eqn: y=-x^2 +kx+k-3]의 그래프가 [eqn: x]축과 접할 때, 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: k GEQ0]) [4.4점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

이차함수 [eqn: y=x^2 -4x-4]의 최댓값은? (단, [eqn: -2 LEQx LEQ3]) [4.4점]

⑤

① [eqn: -8]	② [eqn: -7]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: x ^{2} +4y ^{2} +9z ^{2} -4xy+12yz-6xz=(ax+by+cz) ^{2}]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: abc<0]) [4.4점]

⑤

① [eqn: -6]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

등식 [eqn: a(x-2)(x+2)+bx(x-2)+cx(x+2)=x^2 -10x+8]이 [eqn: x]의 값에 관계없이 항상 참이 될 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값은? [4.4점]

④

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

다항식 [eqn: (3x^3 -11x^2 +7) DIVIDE (3x-2)] 의 몫을 [eqn: Q(x)], 나머지를 [eqn: R]이라고 할 때, [eqn: Q(2)+R]의 값은? [4.5점]

③

① [eqn: -12]	② [eqn: -9]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7]

이차식 [eqn: 3x^2 +2x+1]을 복소수의 범위에서 다음과 같이 인수분해 하였을 때, [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 양의 정수,
[eqn: i= sqrt {-1}]이다.) [4.5점]

②

[eqn: 3x ^{2`}+2x+1= 1overa (bx+1- sqrt { 2}i)(3x+1+ sqrt { c}i)]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

삼각형의 세 변의 길이 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여
[eqn: a ^{3`}-c^3 -a^2 c+ac^2 +ab^2 -b^2 c=0]
인 관계가 성립할 때, 이 삼각형은 어떤 삼각형인가? [4.5점]

③

① 정삼각형

② [eqn: a=b]인 이등변삼각형

③ [eqn: a=c]인 이등변삼각형

④ 빗변의 길이가 [eqn: a]인 직각삼각형

⑤ 빗별의 길이가 [eqn: b]인 직각삼각형

[eqn: a+b=3], [eqn: ab=1]일 때, [eqn: a^3 -b^3]의 값은? (단, [eqn: a>b]이다.) [4.5점]

⑤

① [eqn: 5-3 sqrt { 5}]	② [eqn: -9+5 sqrt { 5}]

③ [eqn: 2sqrt { 5}]	④ [eqn: 5sqrt { 5}]

⑤ [eqn: 8sqrt { 5}]

이차방정식 [eqn: x^2 -2x-a+3=0]은 허근을 갖고, 이차방정식
[eqn: x^2 +4x+ |a |=0]은 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는? [4.6점]

②

① [eqn: 4개]	② [eqn: 6개]	③ [eqn: 8개]

④ [eqn: 9개]	⑤ [eqn: 10개]

이차방정식 [eqn: x^2 -x-5=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때,
[eqn: f(alpha)=f(beta)=2]를 만족하는 이차식 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(2)]의
값은? (단, [eqn: f(x)]의 [eqn: x ^{2}]의 계수는 [eqn: 1]이다.) [4.6점]

①

① [eqn: -1]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 13]

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지가 [eqn: 1]이고, [eqn: f(x)]를 [eqn: x-3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 7]이다. [eqn: f(x)]를 [eqn: (x-1)(x-3)]으로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)]라고 할 때, [eqn: R(4)]의 값은? [4.6점]

⑤

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

부등식 [eqn: 3|x+1 |-2 |x-3 | LEQ1]을 만족하는 정수 [eqn: x]의 개수는? [4.6점]

④

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[eqn: x^3 +ax^2 +bx+c=0]의 모든 근이 [eqn: x^2 -x-2=0]의 모든 근과 일치한다. 이 때 다항식 [eqn: x^3 +ax^2 +bx+c]를 [eqn: x^2 -x-2]로 나누었을 때 몫을 [eqn: Q(x)]라 할 때, [eqn: Q(10)]의 값은? (단, [eqn: c<0]이다.) [4.7점]

④

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

복소수 [eqn: z={1-i} over{ sqrt { 2}]에 대하여 [eqn: z ^{2012} +z ^{2018} =a+bi]일 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이다.) [4.7점]

①

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

방정식 [eqn: x ^{3`}-1=0]의 한 허근을 [eqn: omega]라 할 때, [eqn: omega^5n +(baromega )^5n +1=0]을 만족시키는 [eqn: 40] 이하의 양의 정수의 개수는? (단, [eqn: baromega]는 [eqn: omega]의 켤레복소수이다.) [4.7점]

①

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 32]

거대한 기름 저장고에서 기름을 빼내는 대용량의 밸브가 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C] 세 개가 달려 있다. 기름이 가득 차있는 상태에서 밸브를 모두 틀어 기름을 전부 빼내는데 [eqn: 20]시간이 걸리고 [eqn: A], [eqn: C]만 틀면 [eqn: 30]시간, [eqn: B], [eqn: C]만 틀면 [eqn: 40]시간이 걸릴 때 [eqn: A], [eqn: B]만 틀어 기름을 빼내는 데 걸리는 시간은? (단, 밸브에서 기름이 빠져나오는 속도는 일정하다) [4.7점]

③

① [eqn: 22]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 26]

서술형

그림과 같이 삼각기둥에 내접하는 직육면체를 넣으려고 한다. 직육면체의 높이를 [eqn: x]라고 할 때, 직육면체의 부피를 최대로 하는 [eqn: x]의 값과 그 때의 직육면체의 부피 [eqn: V]를 각각 구하고 그 과정을 서술하시오. [5.0점]

[eqn: x= sqrt { 3}], [eqn: V=4 sqrt { 3}]

그림은 길이가 [eqn: 1]인 정육면체를 각 면의 한 가운데에 한 변의 길이가 [eqn: x]인 정사각형 모양으로 정육면체를 관통하는 구멍을 뚫은 것이다. 이 입체도형의 부피가 정육면체의 부피의 [eqn: 1over2]이 되었을 때, [eqn: x]의 값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [5.0점]

[eqn: 1over2]

[2015년 대화고]

[1학년 1학기 중간]

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